Lineer ve Lineer Olmayan Diferansiyel Denklemler Arasındaki Fark

Lineer ve Lineer Olmayan Diferansiyel Denklemler
 

Bilinmeyen bir değişkenin en az bir diferansiyel katsayısını veya türevini içeren bir denklem, diferansiyel denklem olarak bilinir. Bir diferansiyel denklem doğrusal ya da doğrusal olmayabilir. Bu makalenin amacı doğrusal diferansiyel denklemin ne olduğunu, doğrusal olmayan diferansiyel denklemin ne olduğunu ve doğrusal ve doğrusal olmayan diferansiyel denklemler arasındaki farkın ne olduğunu açıklamaktır..

Newton ve Leibnitz gibi matematikçiler tarafından 18. yüzyılda kalkülüsün gelişmesinden bu yana, diferansiyel denklem matematik hikayesinde önemli bir rol oynamıştır. Diferansiyel denklemler, uygulama alanları nedeniyle matematikte büyük önem taşımaktadır. Diferansiyel denklemler, fizik, mühendislik, kimya, istatistik, finansal analiz veya biyolojide (liste sonsuz) herhangi bir senaryo veya olayı açıklamak için geliştirdiğimiz her modelin kalbidir. Aslında, matematik yerleşik bir teori haline gelene kadar, doğadaki ilginç problemleri analiz etmek için uygun matematiksel araçlar yoktu.

Belirli bir kalkülüs uygulamasından elde edilen denklemler çok karmaşık olabilir ve bazen çözülemez. Bununla birlikte, çözebileceğimiz, ancak benzer ve kafa karıştırıcı görünebilecek olanlar var. Bu nedenle, daha kolay tanımlamak için diferansiyel denklemler matematiksel davranışlarına göre kategorize edilir. Doğrusal ve doğrusal olmayan böyle bir sınıflandırmadır. Doğrusal ve doğrusal olmayan diferansiyel denklemler arasındaki farkı tanımlamak önemlidir.

Lineer Diferansiyel Denklem nedir?

Farz et ki f: X → Y ve f (x) = y, a bilinmeyen fonksiyonun doğrusal olmayan terimleri olmadan diferansiyel denklem y ve türevleri doğrusal diferansiyel denklem olarak bilinir..

Y'nin y gibi daha yüksek dizin terimlerine sahip olmaması koşulunu getirir.², y³,… Ve türevlerinin katları 

Ayrıca Sin gibi doğrusal olmayan terimler içeremez. y, e^{y^ -2}, veya y. Formu alır, 

nerede y ve g işlevleri x. Denklem, düzenin diferansiyel denklemidir n, en yüksek dereceli türevin endeksi olan.

Doğrusal diferansiyel denklemde, diferansiyel operatör doğrusal bir operatördür ve çözümler bir vektör alanı oluşturur. Çözelti setinin doğrusal doğasının bir sonucu olarak, çözeltilerin doğrusal bir kombinasyonu da diferansiyel denklemin bir çözümüdür. Yani, eğer y₁ ve y₂ diferansiyel denklemin çözümleri, C₁ y₁+ C₂ y₂ aynı zamanda bir çözümdür.

Denklemin doğrusallığı sınıflamanın sadece bir parametresidir ve ayrıca homojen veya homojen olmayan ve sıradan veya kısmi diferansiyel denklemler olarak kategorize edilebilir. Eğer fonksiyon g= 0 o zaman denklem doğrusal bir homojen diferansiyel denklemdir. Eğer f iki veya daha fazla bağımsız değişkenin bir fonksiyonudur (f: X, T → Y) ve F (x, t) = x , o zaman denklem doğrusal kısmi diferansiyel denklemdir.

Diferansiyel denklem için çözüm yöntemi diferansiyel denklemin tipine ve katsayılarına bağlıdır. En kolay durum, katsayılar sabit olduğunda ortaya çıkar. Bu duruma klasik örnek, Newton'un ikinci hareket yasası ve çeşitli uygulamalarıdır. Newton'un ikinci yasası sabit katsayılı ikinci derece doğrusal diferansiyel denklem üretir.

Doğrusal Olmayan Diferansiyel Denklem nedir?

Doğrusal olmayan terimler içeren denklemler doğrusal olmayan diferansiyel denklemler olarak bilinir.

 

Yukarıdakilerin tümü doğrusal olmayan diferansiyel denklemlerdir. Doğrusal olmayan diferansiyel denklemlerin çözülmesi zordur, bu nedenle doğru bir çözüm elde etmek için yakın çalışma gereklidir. Kısmi diferansiyel denklemlerde, denklemlerin çoğunun genel bir çözümü yoktur. Bu nedenle, her denkleme bağımsız olarak davranılmalıdır..

Navier-Stokes denklemi ve akışkan dinamiğinde Euler denklemi, Einstein'ın genel görelilik alan denklemleri iyi bilinen doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerdir. Bazen Lagrange denkleminin değişken bir sisteme uygulanması, doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler sistemine neden olabilir.

Lineer ve Lineer Olmayan Diferansiyel Denklemler arasındaki fark nedir?

• Sadece bilinmeyen veya bağımlı değişkenin doğrusal türevleri ve türevleri olan diferansiyel denklem doğrusal diferansiyel denklem olarak bilinir. Bağımlı değişken endeksi 1'den yüksek olan bir terimi yoktur ve türevlerinin katlarını içermez. Bağımlı değişkene göre trigonometrik fonksiyonlar, üstel fonksiyonlar ve logaritmik fonksiyonlar gibi doğrusal olmayan fonksiyonlara sahip olamaz. Yukarıda belirtilen terimleri içeren herhangi bir diferansiyel denklem doğrusal olmayan bir diferansiyel denklemdir.

• Lineer diferansiyel denklemlerin çözümleri vektör alanı yaratır ve diferansiyel operatör de vektör uzayında lineer bir operatördür.

• Lineer diferansiyel denklemlerin çözümleri nispeten daha kolaydır ve genel çözümler mevcuttur. Doğrusal olmayan denklemler için, çoğu durumda, genel çözüm mevcut değildir ve çözüm probleme özgü olabilir. Bu, çözümü doğrusal denklemlerden çok daha zor hale getirir.