Ortogonal ve Ortonormal Arasındaki Fark

Ortogonal ve Ortonormal

Matematikte, ortogonal ve ortonormal olmak üzere iki kelime sıklıkla bir dizi vektörle birlikte kullanılır. Burada 'vektör' terimi, bir vektör uzayının bir unsuru olduğu anlamında kullanılır - doğrusal cebirde kullanılan bir cebirsel yapı. Tartışmamız için bir iç ürün alanı - bir vektör alanı düşüneceğiz V bir iç ürün ile birlikte [] tanımlanmış V.

Örnek olarak, bir iç ürün için boşluk, olağan nokta ürünü ile birlikte tüm 3 boyutlu konum vektörlerinin kümesidir..

Dik nedir?

Boş olmayan bir alt küme S bir iç ürün alanının V ortogonal olduğu söylenir, ancak her biri için farklı sen, v içinde S, [u, v] = 0; yani iç çarpımı u ve v iç ürün alanındaki sıfır skalere eşittir.

Örneğin, tüm 3 boyutlu konum vektörleri kümesinde, bu, her farklı konum vektörü çifti için söylemeye eşdeğerdir. p ve q S'de, p ve q birbirine diktir. (Bu vektör uzayındaki iç ürünün nokta çarpımı olduğunu unutmayın. Ayrıca, iki vektörün nokta çarpımı, sadece ve iki vektörün birbirine dik olması durumunda 0'a eşittir.)

Seti düşünün S 3 boyutlu konum vektörlerinin bir alt kümesi olan = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5). (0,2,0). (4,0,0) = 0 değerine dikkat edin, (4,0,0).(0,0,5) = 0 ve (0,2,0).(0,0,5) = 0. Böylece küme S dikeydir. Özellikle, iç çarpımları 0 ise iki vektörün dik olduğu söylenir. Bu nedenle, her vektör çifti Sdikey.

Ortonormal nedir?

Boş olmayan bir alt küme S bir iç ürün alanının V sadece ve sadece ortonormal olduğu söylenir S dik ve her vektör için u içinde S, [u, u] = 1. Bu nedenle, her ortonormal kümenin dik olduğu ancak tersi olmadığı görülebilir..

Örneğin, tüm 3 boyutlu konum vektörleri kümesinde, bu, her farklı konum vektörü çifti için söylemeye eşdeğerdir. p ve q içinde S, p ve q birbirine dik ve her biri için p içinde S, | P | = 1. Çünkü durum [p, p] = 1, p.p = | p || p |cos0 = | P |²= 1; | P | = 1. Bu nedenle, dikey bir küme verildiğinde, her vektörü büyüklüğüne bölerek her zaman karşılık gelen bir ortonormal küme oluşturabiliriz.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1), tüm 3 boyutlu konum vektörlerinin kümesinin ortonormal bir altkümesidir. Kümedeki vektörlerin her birinin bölünmesiyle elde edildiğini görmek kolaydır S, büyüklüklerine göre.

Orthogonal ve orthonormal arasındaki fark nedir?

• Boş olmayan bir alt küme S bir iç ürün alanının V ancak her biri için ayrı ise dikeydir. sen, v içinde S, [u, v] = 0. Bununla birlikte, her bir vektör için sadece ve ek bir koşul varsa ortonormaldir u içinde S, [u, u] = 1 memnun.
• Herhangi bir ortonormal set diktir ancak tam tersi değildir.
• Herhangi bir ortogonal küme benzersiz bir ortonormal kümeye karşılık gelir, ancak ortoormal bir küme birçok ortogonal kümeye karşılık gelebilir.