Kuvvet Serileri ve Taylor Serileri Arasındaki Fark

Power Serisi ve Taylor Serisi

Matematikte gerçek bir sıra, gerçek sayıların sıralı bir listesidir. Resmi olarak, doğal sayılar kümesinden gerçek sayılar kümesine kadar bir işlevdir. Eğer bir_nn^inci bir sekans terimi ile, sekansı veya bir₁, bir₂,…, Bir_n,… .Örneğin, 1, ½, ⅓,… dizisini ele alalım. , ¹/_n,…. 1 / n olarak belirtilebilir.

Diziler kullanarak bir seri tanımlamak mümkündür. Seri, bir dizinin terimlerinin toplamıdır. Bu nedenle, her sekans için ilişkili bir sekans vardır ve bunun tersi de geçerlidir. Eğer bir_n söz konusu sekans ise, o sekans tarafından oluşturulan seri şu şekilde temsil edilebilir:                                           

 Böylece, yukarıdaki örnekte, ilişkili seri 1'dir.+¹/₂+¹/₃+...  + ¹/_n +... . 

İsimlerin belirttiği gibi, kuvvet serileri özel bir seridir ve Sayısal Analiz ve ilgili matematiksel modellemede yaygın olarak kullanılmaktadır. Taylor serisi, iyi bilinen fonksiyonları temsil etmenin alternatif ve kullanımı kolay bir yolunu sunan özel bir güç serisidir..

Power serisi nedir?

Kuvvet serileri formun serisidir

    

ortalanmış bir aralık için yakınsak (muhtemelen) c. Katsayılar bir_n gerçek veya karmaşık sayılar olabilir ve x; yani. kukla değişken.

Örneğin, bir_n= Her biri için 1 n, ve c = 0, kuvvet serisi 1 + x + x²+… + Xⁿ+… elde edildi. X ε (-1,1) olduğunda, bu kuvvet serisinin 1 / (1-x) 'e yakınlaştığını gözlemlemek kolaydır..          

Bir güç serisi, x = c. Diğer değerleri x Kuvvet serisinin yakınsak olduğu her zaman şu şekilde ortalanmış açık bir aralık şeklinde olacaktır: c. Yani, 0≤ değeri olacak R ≤ ∞ öyle ki her biri için x tatmin edici | x-c | ≤R,, Kuvvet serileri yakınsak ve her biri için x  tatmin edici | x-c |>R,, kuvvet serileri ıraksaktır. Bu değer R, Kuvvet serilerinin yakınsama yarıçapı (R, herhangi bir gerçek değer veya pozitif sonsuz alabilir).

Kuvvet serileri aşağıdaki kurallar kullanılarak eklenebilir, çıkarılabilir, çarpılabilir ve bölünebilir. İki güç serisini düşünün:       

   

                               .

Sonra,                 

yani. benzer terimler birlikte eklenir veya çıkarılır. Ayrıca, iki güç serisini kimliğini kullanarak çoğaltmak ve bölmek de mümkündür.,

Taylor serisi nedir?

Taylor serisi bir fonksiyon için tanımlanmıştır f(x) aralıklarla kademesiz olarak ayırt edilebilir. üstlenmek f(x), ortalanmış bir aralıkta c. Sonra verilen güç serisi

                                                                                                                                

Taylor serisinin işlevin genişlemesi olarak adlandırılır f(x) hakkında c. (Buraya f^(N)(c) N'yi belirtin^inci türevi x = c). Sayısal Analizde, bu sonsuz genişlemedeki sonlu sayıda terim, serinin orijinal işleve yakınsak olduğu noktalarda değerlerin hesaplanmasında kullanılır.

Bir işlev f(x) aralığında analitik olduğu söylenir (a, b), her bir x ε (a, b) için, Taylor serisi f(x) işleve yakınsar f(x). Örneğin, 1 / (1-x) (-1,1) üzerinde analitiktir, çünkü Taylor genişlemesi 1 + x + x²+… + Xⁿ+… O aralıktaki işleve yakınsar ve e^x  Taylor serisinden beri her yerde analitik e^xyakınsar e^x her gerçek sayı için x.

Power serisi ve Taylor serisi arasındaki fark nedir?

1. Taylor serisi sadece bazı açık aralıklarla sonsuz farklılaşabilen fonksiyonlar için tanımlanan özel bir güç serisi sınıfıdır.

2. Taylor serisi özel form alır

        

oysa bir kuvvet serisi formun herhangi bir dizisi olabilir