Belirli ve Belirsiz İntegraller Arasındaki Fark

Matematik matematiğin önemli bir dalıdır ve farklılaşma matematikte kritik bir rol oynamaktadır. Farklılaşmanın ters süreci entegrasyon olarak bilinir ve tersi integral olarak bilinir ya da basitçe ifade etmek gerekirse, farklılaşmanın tersi bir integral verir. Ürettikleri sonuçlara göre integraller iki sınıfa ayrılır: belirli ve belirsiz integraller.

Kesin integral

Belirli integrali f (x) bir NUMBER ve eğrinin altındaki alanı temsil eder f (x) itibaren x = a için X = b.

Belirli bir integralin integrallerde üst ve alt sınırları vardır ve buna kesin denir çünkü problemin sonunda bir sayımız vardır - kesin bir cevaptır.

Belirsiz İntegral

F (x) 'in belirsiz integrali bir FUNCTION'dır ve “Farklılaştırıldığında hangi fonksiyon verir? f (x)?”

Belirsiz bir integral ile buradaki integralin üst ve alt limitleri yoktur ve alacağımız şey hala sahip olan bir cevaptır xiçinde ve aynı zamanda sabit olacak (genellikle C) içinde.

Belirsiz integral genellikle diferansiyel denkleme genel bir çözüm sunar.

Belirsiz integral daha genel bir entegrasyon biçimidir ve dikkate alınan fonksiyonun anti-türevi olarak yorumlanabilir.

Fonksiyonun farklılaştığını varsayalım F başka bir işleve yol açar f, ve f'nin integrali integrali verir. Sembolik olarak, bu şöyle yazılır

F (x) = ∫ƒ (x) dx

veya

F = ∫ƒ dx

her ikisi de nerede F ve ƒ işlevleri x, ve F farklılaşabilir. Yukarıdaki formda, buna Reimann integrali denir ve ortaya çıkan fonksiyon keyfi bir sabitle birlikte gelir.

Belirsiz bir integral genellikle bir işlev ailesi üretir; bu nedenle, integral belirsizdir.

İntegraller ve integral alma işlemleri diferansiyel denklemleri çözmenin temelini oluşturur. Bununla birlikte, farklılaşma adımlarından farklı olarak, entegrasyondaki adımlar her zaman açık ve standart bir rutini takip etmez. Bazen, çözümün temel işlev açısından açıkça ifade edilemeyeceğini görüyoruz. Bu durumda, analitik çözüm genellikle belirsiz bir integral şeklinde verilir..

Analizin Temel Teoremi

Belirli ve belirsiz integral, Kalkülüsün Temel Teoremi ile şu şekilde bağlantılıdır: kesin integral, bul belirsiz integral (anti-türev olarak da bilinir) ve son noktalarda değerlendirir x = a ve X = b.

Belirli ve belirsiz integraller arasındaki fark, aynı fonksiyon için integralleri değerlendirdiğimizde anlaşılacaktır.

Aşağıdaki integrali düşünün:

TAMAM. İkisini de yapalım ve farkı görelim.

Entegrasyon için, dizine bizi aşağıdaki ifadeye yönlendiren bir tane eklememiz gerekir:

Bu noktada C sadece bizim için bir sabittir. Sorunun kesin değerini belirlemek için ek bilgi gereklidir. C.

Aynı integrali kesin formunda, üst ve alt limitleri dahil ederek değerlendirelim.

Grafiksel olarak, şimdi eğrinin altındaki alanı hesaplıyoruz f (x) = y³ arasında y = 2 ve y = 3.

Bu değerlendirmenin ilk adımı belirsiz integral değerlendirmeyle aynıdır. Tek fark, bu sefer sabiti eklemediğimiz C.

Bu durumda ifade aşağıdaki gibi görünür:

Bu sıra aşağıdakilere yol açar:

Esasen, ifadede 3 ve sonra 2'yi ikame ettik ve aralarındaki farkı elde ettik.

Bu, sabit kullanım yerine kesin değerdir C daha erken.

Sabit faktörü (belirsiz integral ile ilgili) biraz daha ayrıntılı olarak inceleyelim.

Eğer diferansiyel y³ dır-dir 3y², sonra

∫3y²dy = y³

ancak, 3y² bazıları aşağıdakileri içeren birçok ifadenin farkı olabilir: y³-5, y³+7, vs… Bu, işlem sırasında sabitin hesaba katılmadığı için tersinmenin benzersiz olmadığı anlamına gelir..

Genel olarak, 3y² farkı y³+C nerede C herhangi bir sabittir. Bu arada, C, 'entegrasyon sabiti'.

Bunu şöyle yazıyoruz:

∫ 3y².dx = y³ + C

Tablo arama veya Risch entegrasyonu gibi belirsiz bir integral için entegrasyon teknikleri, entegrasyon sürecinde yeni süreksizlikler ekleyebilir. Bu yeni süreksizlikler ortaya çıkar çünkü anti-türevler karmaşık logaritmaların kullanılmasını gerektirebilir.

Bağımsız değişken negatif gerçek ekseni geçtiğinde karmaşık logaritmaların atlama süreksizliği vardır ve entegrasyon algoritmaları bazen bu sıçramaların iptal edildiği bir temsili bulamaz.

Belirli integral önce belirsiz bir integralin hesaplanması ve ardından entegrasyon sınırlarının sonuca yerleştirilmesiyle değerlendirilirse, belirsiz entegrasyonun süreksizliklere neden olabileceğinin farkında olmalıyız. Eğer öyleyse, ek olarak, entegrasyon aralığındaki süreksizlikleri araştırmalıyız.