Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar Arasındaki Fark

“Sayılar” terimi, genellikle sıfırdan büyük pozitif tamsayı değerleri olarak sınıflandırılanları aklımıza getirir. Diğer sayı sınıfları şunları içerir: tüm sayılar ve fraksiyonlar, karmaşık ve gerçek sayılar ve ayrıca negatif tamsayı değerleri.

Sayıların sınıflandırmasını daha da genişleterek karşılaşıyoruz akılcı ve irrasyonel sayılar. Rasyonel sayı, kesir olarak yazılabilen bir sayıdır. Başka bir deyişle, rasyonel sayı iki sayının oranı olarak yazılabilir.

Örneğin, 6. İki sayının viz oranı olarak yazılabilir. 6 ve 1, orana yol açan 6/1. aynı şekilde, 2/3, kesir olarak yazılan rasyonel bir sayıdır.

Bu nedenle, rasyonel bir sayıyı, kesir şeklinde yazılmış bir sayı olarak tanımlayabiliriz; burada hem pay (üstteki sayı) hem de payda (alttaki sayı) tam sayılardır. Tanım olarak, bu nedenle, her tam sayı da rasyonel bir sayıdır.

İki büyük sayının (129367871)/(547724863) hem payın hem de paydanın tam sayılar olmasının basit bir nedeni olarak rasyonel sayının bir örneğini oluşturur.

Tersine, bir kesir veya oran şeklinde ifade edilemeyen herhangi bir sayı irrasyonel olarak adlandırılır. İrrasyonel bir sayının en yaygın olarak belirtilen örneği √2 (1.414213…). İrrasyonel bir sayının diğer bir popüler örneği sayısal sabittir π (3.141592 ... ).

İrrasyonel bir sayı ondalık olarak yazılabilir, ancak kesir olarak yazılamaz. İrrasyonel sayılar, sayı çizgisinde bulunmasına rağmen günlük yaşamda sıklıkla kullanılmaz. Arasında sonsuz sayıda irrasyonel sayı vardır 0 ve 1 sayı satırında. Mantıksız bir sayının ondalık noktasının sağında sonsuz tekrar etmeyen basamaklar vardır.

Belirtilen değerin 22/7 sabit için π aslında sadece bir π. Tanım olarak, bir dairenin çevresinin yarıçapının iki katına bölünmesi π değeridir. Bu, birden çok değere π, dahil olmak üzere, ancak bunlarla sınırlı değildir, 333/106, 355/113 ve benzeri1.

Sadece kare sayılarının kare kökleri; diğer bir deyişle, mükemmel kareler rasyonel.

√1= 1 (Akılcı)

√2 (Akılcı)

√3 (Akılcı)

√4 = 2 (Akılcı)

√5, √6, √7, √8 (Akılcı)

√9 = 3 (Akılcı) vb..

Ayrıca, sadece nkökleri nGüçler rasyoneldir. Böylece 6 in kökü 64 rasyoneldir, çünkü 64 bir 6 güç, yani 6 gücü 2. Ama 6 in kökü 63 mantıksız. 63 mükemmel değil 6inci güç.

Kaçınılmaz olarak, mantıksızlıkların ondalık gösterimi ortaya çıkıyor ve bazı ilginç sonuçlar ortaya koyuyor.

Bir ifade ettiğimizde akılcı ondalık sayı olarak, ondalık sayı kesin (de olduğu gibi 1/5= 0.20) yoksa olacak hatalı (de olduğu gibi, 1/3 ≈ 0,3333). Her iki durumda da, tahmin edilebilir bir rakam modeli olacaktır. Unutmayın ki irrasyonel sayı ondalık sayı olarak ifade edilir, o zaman açıkça geçersiz olur, çünkü aksi takdirde sayı rasyonel olur.

Dahası, tahmin edilebilir bir rakam modeli olmayacaktır. Örneğin,

√2 ≈1,4142135623730950488016887242097

Şimdi, rasyonel sayılarla, bazen 1/11 = 0.0909090.

Hem eşittir işaretinin kullanımı (=) ve üç nokta (eksilti) ifade etmek mümkün olmasa da 11/01 tam olarak bir ondalık sayı olarak, yakınına izin verilen sayıda ondalık hane ile yaklaşık olarak tahmin edebiliriz 11/01.

Böylece, ondalık 11/01 hatalı sayılır. Aynı şekilde, ondalık form  ¼ 0.25 olan kesin.

İrrasyonel sayılar için ondalık biçime gelince, her zaman kesin olmayacaklardır. Örneği ile devam etmek √2, yazdığımızda √2 = 1.41421356237… (Üç nokta kullanılmasına dikkat edin), derhal ondalık sayı olmadığını gösterir. √2 kesin olacak. Ayrıca, tahmin edilebilir bir rakam modeli olmayacaktır. Sayısal yöntemlerden gelen kavramları kullanarak, tekrar yakın olduğumuz noktaya kadar ondalık basamağa kadar rasyonel olarak yaklaşabiliriz. √2.

Rasyonel ve irrasyonel sayılarla ilgili herhangi bir not, √2'nin neden irrasyonel olduğuna dair zorunlu kanıt olmadan sona eremez. Bunu yaparken, klasik bir örnek olan sürekli kanıtradiction.

Diyelim ki √2 rasyoneldir. Bu bizi iki tamsayının bir oranı olarak göstermemize yol açar. p ve q.

√2 = p / q

söylemeye gerek yok, p ve q ortak bir faktöre sahip değiliz, çünkü herhangi bir ortak faktör olsaydı, bunları pay ve paydadan iptal ederdik.

Denklemin her iki tarafını da karelerek,,

2 = p2 / q2

Bu rahatlıkla şu şekilde yazılabilir:,

p2 = 2q2

Son denklem, p2 eşittir. Bu ancak p kendisi bile. Bu da sırayla p2 tarafından bölünebilir 4. bundan dolayı, q2 ve sonuç olarak q eşit olmalıdır. Yani p ve q her ikisi de, ortak faktörleri olmadığı yönündeki ilk varsayımımıza bir çelişki teşkil etmektedir. Böylece, √2 rasyonel olamaz. Q.E.D.