Reel Sayılar ve Tam Sayılar Arasındaki Fark

Matematikçiler belirli bir sayının diğerinden ne kadar farklı olduğunu belirlemek için sistemler geliştirdiler. Tıpkı diğer kavramlar gibi, sayı kategorileri çakışır. Gerçek sayılar, tamsayılar gibi tüm rasyonel sayıları içerdiğinden, tam sayıların kullanılması ve sayı satırında çizilmesi gibi benzer özellikleri paylaşırlar. Bu nedenle, temel fark, gerçek sayılar genel bir sınıflandırma iken, tam sayılar, negatif özelliklere sahip tam sayılar olarak karakterize edilen bir alt kümedir..

Gerçek Sayılar nedir?

Gerçek sayılar, seçilen bir noktanın "başlangıç ​​noktası" olarak işlev gördüğü genellikle geometrik yatay bir çizgi olarak ifade edilen sayı satırında bulabileceğiniz değerlerdir. Sağ tarafa düşenler pozitif, soldakiler negatif olarak etiketlenmiştir. “Gerçek” tanımı, 17. yüzyılda ünlü bir matematikçi ve filozof Rene Descartes tarafından sunuldu. Özellikle Polinomların gerçek kökleri ile hayali kökleri arasındaki farkı belirledi.

Gerçek sayılar tam, tamsayılar, doğal, rasyonel ve irrasyonel sayıları içerir:

• Tüm sayılar

Tam sayılar, parça veya parça içermeyen bütün nesneleri temsil ettikleri için kesirli parçası veya ondalık noktası olmayan pozitif sayılardır.

• tamsayılar

Tamsayılar, sayı satırının negatif tarafını içeren tam sayılardır.

• Doğal sayılar

Sayma sayıları olarak da bilinir, doğal sayılar tam sayılar gibidir, ancak sıfır dahil edilmez, çünkü hiçbir şey esasen “0” olarak sayılamaz.

• Rasyonel sayılar

Kökenleri ile ilgili olarak, antik Yunan matematikçi Pisagor, tüm sayıların rasyonel olduğunu ilan etti. Rasyonel sayılar, iki tamsayının bölümleri veya kesirleridir. P ve q ifadelerinin her ikisi de tamsayı olduğunda ve q sıfıra eşdeğer değilse, p / q rasyonel bir sayıdır. Örneğin, 3/5 rasyonel bir sayıdır, ancak 3/0 değildir.

• İrrasyonel sayılar

Pisagor öğrencisi Hippasus, tüm sayıların rasyonel olduğunu kabul etmedi. Geometri sayesinde bazı sayıların mantıksız olduğunu kanıtladı. Örneğin, 1.41 olan ikisinin kare kökü bir kesir olarak ifade edilemez; dolayısıyla mantıksızdır. Ne yazık ki, rasyonel sayıların gerçekliği Pisagor takipçileri tarafından kabul edilmedi. Bu, Hippasus'un denizde boğulmasına neden oldu ve bu süre zarfında tanrılardan bir ceza olduğu söyleniyordu.

Tamsayılar nedir?

Latince “tamsayı” ya da “tam” ya da “el değmemiş” anlamına gelen “tamsayı” kelimesinden, bu sayılar tam sayılar gibi kesirli ya da ondalık bileşenlere sahip değildir. Sayılar pozitif doğal sayıları veya sayma sayılarını ve negatiflerini içerir. Örneğin, -3, -2, -1, 0, -1, 2, 3 tamsayılardır. Genel illüstrasyon, sıfır ile sonsuz sayı çizgisinde, aralarında pozitif veya negatif olmayan eşit aralıklı sayılardır. Bu nedenle, pozitifler negatiflerden daha büyüktür.

Geçmişiyle ilgili olarak, aşağıdaki hesaplar tamsayıların ilk nasıl kullanıldığını izler:

• MÖ 200'de negatif sayılar ilk olarak antik Çin'de kırmızı çubuklarla temsil edildi.
• MS 630 civarında, Hindistan'daki borcu temsil etmek için negatif sayılar kullanıldı.
• Alman bir matematikçi olan Arbermouth Holst, ek olarak ve çarpma olarak 1563'te tamsayıları tanıttı. Sistemi, üzerinde denemekte olduğu artan tavşan ve fil sayısına yanıt olarak geliştirdi..

Tamsayıların özellikleri şunlardır:

• Pozitif

Sayı çizgisinin sağ tarafındaki sayılar pozitiftir ve genellikle negatif karşılıklarının daha yüksek değerini temsil eder.

• Olumsuz

Sayı çizgisinin sol tarafındaki sayılar genellikle pozitif karşılıklarının daha düşük standart değeri olarak görülür.

• nötr

Sayı satırının merkezi, sıfır, pozitif veya negatif olmayan tam sayıdır.

• Parça yok

Tam sayılar gibi, tamsayıların ondalık noktası veya kesiri yoktur.

Reel Sayılar ve Tam Sayılar Arasındaki Fark

Reel Sayıların ve Tamsayıların Kapsamı

Gerçek sayılar arasında tamsayılar, rasyonel, irrasyonel, doğal ve tam sayılar bulunur. Öte yandan, tamsayıların kapsamı temel olarak negatif ve pozitif olan tam sayılarla ilgilidir. Dolayısıyla, gerçek sayılar daha geneldir.

Kesirler

Gerçek sayılar rasyonel ve irrasyonel sayılar gibi kesirler içerebilir. Ancak, kesirler tamsayı olamaz.

En Küçük-Üst Sınır Mülkiyet

Reel sayılar, “bütünlük” olarak da bilinen en az üst sınır özelliğine sahiptir. Bu, lineer gerçek sayılar kümesinin supremum nitelikleri olan alt kümeleri olduğu anlamına gelir. Aksine, tamsayılar en az üst sınır özelliğine sahip değildir.

Arşimet Özelliği

Herhangi bir gerçek sayıya eşit veya ondan büyük doğal bir sayı olduğu varsayımı olan Arşimet mülkü, gerçek sayılara uygulanabilir. Aksine, Arşimet mülkü tamsayılara uygulanamaz.

Alan

Reel sayılar, aritmetik işlemlerin tanımlandığı önemli bir cebirsel yapı olan bir tür alandır. Aksine, tamsayılar alan olarak kabul edilmez..

Sayılabilir

Küme olarak, gerçek sayılar sayılamazken, tam sayılar sayılabilir.

Reel Sayı ve Tam Sayıların Sembolleri

Gerçek sayılar “R”, bir tamsayı kümesi “Z” olarak sembolize edilir. 1930'larda bir grup Fransız matematikçi olan N. Bourbaki, Almanca “Zahlen” kelimesinden sayı veya tamsayı anlamına gelen “Z” yi belirtmiştir..

Gerçek Sayılar ve Tamsayılar için Kelime Kökeni

Gerçek sayılar, bir polinomların gerçek köklerini belirtirken, tamsayı Latince kelimeden gelirken, "tam" ondalık sayıları veya kesirleri içermediğinden.

Gerçek Sayılar ve Tamsayılar

Gerçek Sayıların Tam Sayılara Özeti

• Hem gerçek sayılar hem de tamsayılar sayı satırına çizilebilir.
• Tamsayılar gerçek sayıların bir alt kümesidir.
• Tamsayıların negatif sayıları var.
• Bir küme olarak, gerçek sayılar tamsayılara göre daha genel bir kapsama sahiptir.
• Tamsayıların aksine, gerçek sayılar kesirler ve ondalık basamaklar içerebilir.
• En az bağlı, Arşimet ve alanın özellikleri genellikle gerçek sayılar için geçerlidir, ancak tamsayılar için geçerli değildir.
• Gerçek sayıların aksine, tamsayılar kesinlikle sayılabilir.
• “R” gerçek sayıları, “Z” tam sayıları ifade eder.