Türev ve Diferansiyel Arasındaki Fark

Türev ve Diferansiyel
 

Diferansiyel hesapta, bir fonksiyonun türevi ve diferansiyeli yakından ilişkilidir, ancak çok farklı anlamları vardır ve farklı fonksiyonlarla ilgili iki önemli matematiksel nesneyi temsil etmek için kullanılır.

Türev nedir?

Bir fonksiyonun türevi, girdi değiştikçe fonksiyon değerinin değişme hızını ölçer. Çok değişkenli fonksiyonlarda, fonksiyon değerindeki değişiklik, bağımsız değişkenlerin değerlerinin değişim yönüne bağlıdır. Bu nedenle, bu gibi durumlarda, belirli bir yön seçilir ve işlev bu belirli yönde farklılaştırılır. Bu türevi yönlü türev denir. Kısmi türevler özel bir tür yönlü türevlerdir.

Vektör değerli bir fonksiyonun türevi f limit olarak tanımlanabilir her yerde sonlu olarak. Daha önce de belirtildiği gibi, bu bize fonksiyonun artış oranını verir f vektörün yönü boyunca u. Tek değerli bir fonksiyon söz konusu olduğunda, bu, türevin iyi bilinen tanımına indirgenir,  

Örneğin, her yerde farklılaşabilir ve türev sınıra eşittir, , bu eşittir . Gibi fonksiyonların türevleri   her yerde var. Sırasıyla işlevlere eşittirler .                                                                                

Bu ilk türev olarak bilinir. Genellikle fonksiyonun ilk türevi f tarafından belirtilir f ⁽¹⁾. Şimdi bu gösterimi kullanarak, yüksek dereceli türevleri tanımlamak mümkündür. ikinci dereceden yönlü türevdir ve n^inci tarafından türev f ⁽ⁿ⁾ her biri için n, ,  tanımlar n^inci türev.

Diferansiyel nedir?

Bir fonksiyonun farkı, bağımsız değişken veya değişkenlerdeki değişikliklere göre fonksiyondaki değişikliği temsil eder. Her zamanki gösterimde, belirli bir işlev için f tek değişkenli x, sipariş 1 toplam farkı df tarafından verildi, . Bu, sonsuz küçük bir değişiklik için x(yani dx), bir  f ⁽¹⁾(x) dx değiştirmek f.

Limitler kullanıldığında bu tanım aşağıdaki gibi sonuçlanabilir. Varsayım ∆x değişiklik mi x keyfi bir noktada x ve ∆f işlevdeki ilgili değişikliktir f. ∆ gösterilebilir.f = f ⁽¹⁾(x) Δx+ ε, burada ϵ hatadır. Şimdi, sınır ∆x →0^Δf/_Δx= f ⁽¹⁾(x) (daha önce belirtilen türev tanımını kullanarak) ve böylece, ∆x →0^ε/_Δx= 0. Bu nedenle, ∆x →0ε = 0. Şimdi, ∆x →0 ∆f d gibif ve ∆x →0 ∆x d gibix diferansiyelin tanımı titizlikle elde edilir. 

Örneğin, işlevin farkı dır-dir .

İki veya daha fazla değişkenli fonksiyonlarda, bir fonksiyonun toplam diferansiyeli, bağımsız değişkenlerin her birinin yönündeki diferansiyellerin toplamı olarak tanımlanır. Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilebilir: .