Fark Denklemi ve Diferansiyel Denklem Arasındaki Fark

Fark Denklemi ile Diferansiyel Denklem

Doğal bir fenomen, birkaç bağımsız değişken ve parametrenin fonksiyonları ile matematiksel olarak tanımlanabilir. Özellikle mekansal konum ve zamanın bir fonksiyonu ile ifade edildiğinde, denklemlerle sonuçlanır. Fonksiyon, bağımsız değişkenlerdeki veya parametrelerdeki değişiklikle değişebilir. Değişkenlerinden biri değiştirildiğinde fonksiyonda meydana gelen sonsuz bir değişikliğe o fonksiyonun türevi denir.

Diferansiyel denklem, bir fonksiyonun türevlerini ve fonksiyonun kendisini içeren herhangi bir denklemdir. Basit bir diferansiyel denklem Newton'un İkinci Hareket Yasasıdır. Eğer m kütlesi bir nesne 'a' ivmesi ile hareket ediyorsa ve F kuvveti ile hareket ediyorsa, Newton'un İkinci Kanunu bize F = ma olduğunu söyler. Burada yine 'a' zamana göre değişir, 'a' yı şöyle yeniden yazabiliriz; a = dv / dt; v hızdır. Hız, uzayın ve zamanın fonksiyonudur, yani v = ds / dt; bu nedenle 'a' = d²s / dt².

Bunları akılda tutarak Newton'un ikinci yasasını diferansiyel bir denklem olarak yeniden yazabiliriz;

V ve t'nin bir fonksiyonu olarak 'F' - F (v, t) = mdv / dt veya

S ve t'nin bir fonksiyonu olarak 'F' - F (s, ds / dt, t) = m d²s / dt²

İki tür diferansiyel denklem vardır; ODE ile kısaltılmış sıradan diferansiyel denklem veya PDE ile kısaltılmış kısmi diferansiyel denklem. Adi diferansiyel denklemin içinde sıradan türevler (sadece bir değişkenin türevleri) olacaktır. Kısmi diferansiyel denklemin içinde diferansiyel türevler (birden fazla değişkenin türevleri) olacaktır..

Örneğin. F = m g²s / dt² bir ODE, α² d²u / dx² = du / dt bir PDE'dir, t ve x türevlerine sahiptir.

Fark denklemi diferansiyel denklemle aynıdır, ancak farklı bağlamda bakarız. Diferansiyel denklemlerde, zaman gibi bağımsız değişken sürekli zaman sistemi bağlamında değerlendirilir. Ayrık zaman sisteminde fonksiyona fark denklemi diyoruz.

Fark denklemi farkların bir fonksiyonudur. Bağımsız değişkenlerdeki farklılıklar üç türdür; sayı dizisi, ayrık dinamik sistem ve yinelenen fonksiyon.

Sayı dizisinde değişiklik, dizideki her sayıyı dizideki önceki sayılarla ilişkilendirmek için bir kural kullanılarak yinelemeli olarak oluşturulur..

Ayrık bir dinamik sistemdeki fark denklemi bazı ayrık giriş sinyalleri alır ve çıkış sinyali üretir.

Fark denklemi, yinelenen fonksiyon için yinelenen bir haritadır. Örneğin, y₀, f (y₀), f (f (y₀)), f (f (f (y₀))),…. Yinelenen bir fonksiyonun dizisidir. F (y₀) y'nin ilk yinelemesi₀. K-th yinelemesi f ile gösterilir.^k(y₀).