Laplace ve Fourier Dönüşümleri Arasındaki Fark

Laplace ve Fourier Dönüşümleri
 

Hem Laplace dönüşümü hem de Fourier dönüşümü, matematiksel olarak modellenmiş fiziksel sistemleri çözmek için en yaygın olarak matematiksel yöntemler olarak kullanılan integral dönüşümlerdir. İşlem basittir. Karmaşık bir matematiksel model, integral dönüşüm kullanılarak daha basit, çözülebilir bir modele dönüştürülür. Daha basit model çözüldükten sonra, orijinal modele çözüm sağlayacak ters integral dönüşümü uygulanır..

Örneğin, fiziksel sistemlerin çoğu diferansiyel denklemlerle sonuçlandığından, bunlar cebirsel denklemlere veya integral bir dönüşüm kullanılarak daha düşük derecede kolayca çözülebilen diferansiyel denklemlere dönüştürülebilir. Sonra problemi çözmek daha kolay olacak.

Laplace dönüşümü nedir?

Bir işlev verildi f (t) gerçek bir değişkenin t, Laplace dönüşümü integral tarafından tanımlanır (varsa) karmaşık bir değişkenin fonksiyonu s. Genellikle L f (t). Bir fonksiyonun ters Laplace dönüşümü F(s) işlevi olarak alınır f (t) öyle bir şekilde L f (t) = F(s) ve yazdığımız olağan matematiksel gösterimde, L ^-1F(s) = f (t).Boş işlevlere izin verilmiyorsa ters dönüştürme benzersiz hale getirilebilir. Bu ikisi fonksiyon alanında tanımlanan doğrusal operatörler olarak tanımlanabilir ve bunu görmek de kolaydır, L ^-1L f (t) = f (t), null işlevlere izin verilmiyorsa.

Aşağıdaki tabloda, en yaygın işlevlerden bazılarının Laplace dönüşümleri listelenmektedir.

Fourier dönüşümü nedir?

Bir işlev verildi f (t) gerçek bir değişkenin t, Laplace dönüşümü integral tarafından tanımlanır (ne zaman mevcutsa) ve genellikle F f (t). Ters dönüşüm F ^-1F(α) integral tarafından verilir . Fourier dönüşümü de doğrusaldır ve fonksiyon alanında tanımlanan bir operatör olarak düşünülebilir.

Fourier dönüşümünü kullanarak, fonksiyonun sadece sınırlı sayıda süreksizliğe sahip olması ve tamamen entegre olması şartıyla orijinal fonksiyon aşağıdaki gibi yazılabilir..

Laplace ve Fourier Dönüşümleri arasındaki fark nedir?

• Bir fonksiyonun Fourier dönüşümü f (t) olarak tanımlanır , oysa laplace dönüşümü şöyle tanımlanır: .
• Fourier dönüşümü sadece tüm gerçek sayılar için tanımlanan fonksiyonlar için tanımlanırken, Laplace dönüşümü fonksiyonun negatif gerçek sayılar setinde tanımlanmasını gerektirmez.
• Fourier dönüşümü, Laplace dönüşümünün özel bir halidir. Her ikisinin de negatif olmayan gerçek sayılarla çakıştığı görülebilir. (yani al s Laplace'da olmak iα + β nerede α ve β öyle gerçek ki e ^β= ¹/_{√ (2ᴫ)})
• Fourier dönüşümü olan her işlevin bir Laplace dönüşümü olur, bunun tersi olmaz.