Karşılıklı Münhasır ve Bağımsız Olaylar Arasındaki Fark

Karşılıklı Özel ve Bağımsız Etkinlikler

İnsanlar genellikle birbirini dışlayan olaylar kavramını bağımsız olaylarla karıştırırlar. Aslında, bunlar iki farklı şey.

A ve B'nin rastgele bir deney E ile ilişkili iki olay olmasına izin verin. P (A) “A'nın Olasılığı” olarak adlandırılır. Benzer şekilde, B olasılığını P (B), A veya B olasılığını P (A (B) ve A ve B olasılığını P (A∩B) olarak tanımlayabiliriz. Sonra, P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).

Ancak, bir olayın meydana gelmesi diğerinin etkilenmemesi durumunda iki olayın karşılıklı olarak münhasır olduğu söylenir. Başka bir deyişle, eşzamanlı olarak gerçekleşemezler. Bu nedenle, iki A ve B olayı birbirini dışlarsa A∩B = ∅ ve dolayısıyla P (A∪B) = P (A) + P (B) anlamına gelir.

A ve B örnek uzayında S iki olay olsun. B'nin meydana geldiği göz önüne alındığında A'nın koşullu olasılığı P (A | B) ile gösterilir ve; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), sağlanan P (B)> 0. (aksi takdirde tanımlanmamıştır.)

A olayının B olayından bağımsız olduğu söylenir, eğer A'nın meydana gelme olasılığı B'nin meydana gelip gelmediğinden etkilenmezse. Başka bir deyişle, B olayının sonucunun A olayının sonucu üzerinde hiçbir etkisi yoktur. Bu nedenle, P (A | B) = P (A). Benzer şekilde, P (B) = P (B | A) ise B, A'dan bağımsızdır. Dolayısıyla, eğer A ve B bağımsız olaylar ise P (A∩B) = P (A) .P (B) sonucuna varabiliriz.

Numaralı bir küpün yuvarlandığını ve adil bir jetonun çevrildiğini varsayın. A, bir kafa almanın olayı ve B, çift sayı yuvarlanması olayı olsun. Sonra A ve B olaylarının bağımsız olduğu sonucuna varabiliriz, çünkü birinin sonucu diğerinin sonucunu etkilemez. Bu nedenle, P (APB) = P (A) .P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. P (A∩B) ≠ 0 olduğundan, A ve B birbirini dışlayamaz.

Bir urnun 7 beyaz mermer ve 8 siyah mermer içerdiğini varsayalım. Olay A'yı beyaz mermer çizmek ve olay B'yi siyah mermer çizmek olarak tanımlayın. Her bir mermerin rengini not ettikten sonra değiştirileceğini varsayarsak, P (A) ve P (B), kaç kez urndan çizersek çekelim, her zaman aynı olacaktır. Mermerleri değiştirmek, son çizimde hangi rengi seçersek seçelim, olasılıkların çizimden çekime değişmemesi anlamına gelir. Bu nedenle, A ve B olayları bağımsızdır.

Ancak, mermerler değiştirilmeden çizildiyse, her şey değişir. Bu varsayım altında, A ve B olayları bağımsız değildir. İlk kez beyaz bir mermer çizmek, ikinci çekilişte siyah bir mermer çizme olasılığını değiştirir vb. Diğer bir deyişle, her çekilişin bir sonraki çekiliş üzerinde etkisi vardır ve bu nedenle bireysel çekilişler bağımsız değildir.