Rasgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımı Arasındaki Fark

Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımı

İstatistiksel deneyler, bilinen bir dizi sonuçla süresiz olarak tekrarlanabilen rastgele deneylerdir. Hem rastgele değişkenler hem de olasılık dağılımları bu tür deneylerle ilişkilidir. Her rastgele değişken için, kümülatif dağılım işlevi adı verilen bir işlevle tanımlanan ilişkili olasılık dağılımı vardır.

Rasgele değişken nedir?

Rastgele değişken, istatistiksel deneyin sonuçlarına sayısal değerler atayan bir fonksiyondur. Başka bir deyişle, istatistiksel bir deneyin örnek uzayından gerçek sayılar kümesine tanımlanan bir işlevdir..

Örneğin, bir madalyonun iki kez çevrilmesini içeren rastgele bir deneyi düşünün. Olası sonuçlar HH, HT, TH ve TT'dir (H - kafaları, T - masalları). X değişkeni deneyde gözlemlenen kafa sayısı olsun. Daha sonra X, 0, 1 veya 2 değerlerini alabilir ve rastgele bir değişkendir. Burada, rastgele değişken X, S = HH, HT, TH, TT (örnek alanı) kümesini 0, 1, 2 ile HH'nin 2, HT ve TH ile eşleneceği şekilde eşleyecektir. 1 ile eşleştirilir ve TT, 0 ile eşlenir. İşlev gösteriminde, bu, X: S → R şeklinde yazılabilir; burada X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 ve X ( GSS) = 0.

İki tür rastgele değişken vardır: ayrık ve sürekli, buna göre rastgele bir değişkenin üstlenebileceği olası değerlerin sayısı en fazla sayılabilir veya değildir. Önceki örnekte, rastgele değişken X, 0, 1, 2 sonlu bir küme olduğu için ayrı bir rastgele değişkendir. Şimdi, bir sınıftaki öğrencilerin ağırlıklarını bulma konusundaki istatistiksel deneyi düşünün. Y, bir öğrencinin ağırlığı olarak tanımlanan rastgele değişken olsun. Y, belirli bir aralıkta herhangi bir gerçek değeri alabilir. Dolayısıyla, Y sürekli rastgele bir değişkendir.

Olasılık dağılımı nedir?

Olasılık dağılımı, belirli değerleri alan rastgele bir değişkenin olasılığını tanımlayan bir fonksiyondur.

Kümülatif dağılım fonksiyonu (F) olarak adlandırılan bir işlev, gerçek sayılar kümesinden gerçek sayılar kümesine F (x) = P (X ≤ x) (X'in x'ten küçük veya ona eşit olma olasılığı) olarak tanımlanabilir. olası her sonuç x. Şimdi ilk örnekteki X'in kümülatif dağılım fonksiyonu, eğer F (a) = 0 olarak yazılabilir.<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

Ayrık rasgele değişkenler söz konusu olduğunda, bir fonksiyon olası sonuçlar kümesinden gerçek sayılar kümesine ƒ (x) = P (X = x) (X'in x'e eşit olma olasılığı) olarak tanımlanabilir. olası her sonuç için x. Bu özel fonksiyona ƒ rastgele değişken X'in olasılık kütle fonksiyonu olarak adlandırılır. Şimdi ilk özel örnekte X'in olasılık kütle fonksiyonu ƒ (0) = 0.25, ƒ (1) = 0.5, ƒ (2) olarak yazılabilir. = 0.25 ve aksi halde ƒ (x) = 0. Bu nedenle, kümülatif dağılım fonksiyonu ile birlikte olasılık kütle fonksiyonu, ilk örnekte X'in olasılık dağılımını tarif edecektir..

Sürekli rasgele değişkenlerde, olasılık yoğunluğu fonksiyonu (ƒ) olarak adlandırılan bir fonksiyon, her x için ƒ (x) = dF (x) / dx olarak tanımlanabilir; burada F, sürekli rasgele değişkenin kümülatif dağılım fonksiyonudur. Bu fonksiyonun ∫ƒ (x) dx = 1 değerini karşıladığını görmek kolaydır. Olasılık dağılım fonksiyonu ile birlikte kümülatif dağılım fonksiyonu, sürekli rasgele bir değişkenin olasılık dağılımını tanımlar. Örneğin, normal dağılım (sürekli bir olasılık dağılımıdır) olasılık yoğunluk fonksiyonu ƒ (x) = 1 / √ (2πσ) kullanılarak tanımlanır²) e ^ ([(x-µ)]²/ (2σ²)).