Riemann İntegrali ve Lebesgue İntegrali Arasındaki Fark

Riemann integrali ve Lebesgue integrali

Entegrasyon hesabın ana konusudur. Broder anlamda, entegrasyon, tersine bir farklılaşma süreci olarak görülebilir. Gerçek dünyadaki sorunları modellerken, türevleri içeren ifadeleri yazmak kolaydır. Böyle bir durumda, belirli bir türevi veren işlevi bulmak için entegrasyon işleminin yapılması gerekir..

Başka bir açıdan, entegrasyon ƒ (x) ve δx fonksiyonunun ürününü toplayan ve δx'in belirli bir sınır olma eğiliminde olduğu bir süreçtir. Bu yüzden entegrasyon sembolünü ∫ olarak kullanıyoruz. ∫ sembolü aslında, s harfini toplamı ifade etmek için uzatarak elde ettiğimiz şeydir..

Riemann İntegrali

Y = ƒ (x) işlevini düşünün. Y'nin integrali bir ve b, nerede bir ve b bir kümeye ait x, olarak yazılır _b∫^birƒ (x) dx = [F(X)]_bir→b = F(b) - F(bir). Buna, a ve b arasındaki tek değerli ve sürekli y = ƒ (x) fonksiyonunun belirli bir integrali denir. Bu, eğrinin altındaki alanı bir ve b. Buna Riemann integrali de denir. Riemann integrali Bernhard Riemann tarafından oluşturuldu. Sürekli bir fonksiyonun Riemann integrali Ürdün ölçüsüne dayanır, bu nedenle fonksiyonun Riemann toplamlarının limiti olarak da tanımlanır. Kapalı bir aralıkta tanımlanan gerçek değerli bir işlev için, x bölümüne göre işlevin Riemann integrali₁, x₂,…, X_n [a, b] ve t aralığında tanımlanmıştır₁, t₂,…, T_n, nerede x_ben ≤ t_ben ≤ x_{i 1 +} her i ε 1, 2,…, n için Riemann toplamı Σ_{i = o ila n-1} ƒ (t_ben) (X_{i 1 +} - x_ben).

Lebesgue İntegrali

Lebesgue, Riemann integralinden çok çeşitli durumları kapsayan başka bir integraldir. Lebesgue integrali, 1902 yılında Henri Lebesgue tarafından tanıtıldı. Legesgue entegrasyonu, Riemann entegrasyonunun bir genellemesi olarak düşünülebilir..

Neden başka bir integral üzerinde çalışmamız gerekiyor??

Karakteristik fonksiyonu ele alalım ƒ_{A (x) = 0 ise, x değil ε A}^{1 ise, x ε A} Sonra karakteristik fonksiyonların sonlu doğrusal kombinasyonu olarak tanımlanır. F(x) = Σ a_benƒE_ben(x), basit işlev olarak adlandırılırsa E_ben her i için ölçülebilir. Lebesgue integrali F(x) üstü E tarafından belirtilir _E∫ ƒ (x) dx. İşlev F(x) Riemann ile entegre edilemez. Bu nedenle Lebesgue integrali, entegre edilecek fonksiyonlar üzerinde bazı kısıtlamalara sahip Riemann integralini yeniden ifade eder.