Aritmetik ve Geometrik Seriler Arasındaki Fark

Aritmetik ve Geometrik Seri
 

Bir dizinin matematiksel tanımı dizilerle yakından ilişkilidir. Bir sıra, sıralı bir sayı kümesidir ve sonlu ya da sonsuz bir küme olabilir. İki eleman arasındaki farkın sabit olduğu bir sayı dizisi aritmetik ilerleme olarak bilinir. Art arda iki sayıdan oluşan sabit bir bölüme sahip bir dizi, geometrik ilerleme olarak bilinir. Bu ilerlemeler sonlu veya sonsuz olabilir ve eğer sınırlı ise, terim sayısı sayılabilir, başka türlü sayılamaz.

Genel olarak, bir ilerlemedeki öğelerin toplamı bir seri olarak tanımlanabilir. Aritmetik bir ilerlemenin toplamı, aritmetik bir seri olarak bilinir. Benzer şekilde, geometrik bir ilerlemenin toplamı geometrik bir dizi olarak bilinir.

Aritmetik Serisi hakkında daha fazla bilgi

Aritmetik bir seride, birbirini izleyen terimlerin sabit bir farkı vardır.

S_n = a₁ + bir₂ + bir₃ + bir₄ +⋯ + a_n = ∑ⁿ_{i 1 =} bir_ben ; burada bir₂ = a₁ + d, bir₃ = a₂ + d, vb..

Bu fark d, ortak fark olarak bilinir ve n^inci terim bir_n = a₁+ (N-1), d burada bir₁ ilk dönem.

Serinin davranışı ortak farka göre değişir d. Ortak fark pozitifse, ilerleme pozitif sonsuz olma eğilimindedir ve ortak fark negatifse negatif sonsuza doğru eğilim gösterir.

Serinin toplamı, ilk önce Hintli gökbilimci ve matematikçi Aryabhata tarafından geliştirilen aşağıdaki basit formülle elde edilebilir..

S_n = n / 2 (a₁+ bir_n ) = n / 2 [2a₁ + (N-1) d]

Toplam S_n terimlerin sayısına bağlı olarak sonlu veya sonsuz olabilir.

Geometric Series hakkında daha fazla bilgi

Geometrik bir dizi, ardışık sayıların katsayısının sabit olduğu bir seridir. Sahip olduğu özellikler nedeniyle serinin çalışmasında bulunan Önemli bir seridir.

S_n = ar + ar² + ar³ +⋯ + arⁿ = ∑ⁿ_{i 1 =} ar^ben

R oranına göre, serinin davranışı aşağıdaki gibi kategorize edilebilir. r = | r | ≥1 serisi ayrışıyor; r≤1 serisi yakınsak. Ayrıca, eğer r<0 the series oscillates, i.e. the series has alternating values.

Geometrik serilerin toplamı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir. S_n = a (1-rⁿ) / (1-r); burada a, başlangıç ​​terimidir ve r, orandır. Oran r≤1 ise, seri yakınsar. Sonsuz bir seri için yakınsama değeri S tarafından verilir._n= a / (1-r).

Geometrik serilerin fizik bilimleri, mühendislik ve ekonomi alanlarında birçok uygulaması vardır.

Aritmetik ve Geometrik Seriler arasındaki fark nedir?

• Aritmetik seri, bitişik iki terim arasında sabit bir fark bulunan bir seridir.

• Geometrik seriler, birbirini izleyen iki terim arasında sabit bir bölümü olan bir seridir.

• Tüm sonsuz aritmetik seriler her zaman ıraksaktır, ancak orana bağlı olarak geometrik seriler yakınsak veya ıraksak olabilir.

• Geometrik seriler değerlerde salınım gösterebilir; yani, sayılar işaretlerini alternatif olarak değiştirir, ancak aritmetik seri salınımlara sahip olamaz.